Distribución ZOIP

La función ZOIP () define las distribuciones para datos proporcionales inflados con ceros y unos más conocidas, como la distribución beta y simplex, además permite que se tengan distintas parametrizaciones de la distribución beta. La función ZOIP () posee 4 parámetros dos de ellos corresponden a la proporción de ceros y unos que quiere que posea la distribución para datos proporcionales de su elección.

La distribución para datos proporcionales en cero y/o uno se compone de la mezcla de dos distribuciones, una parte dada por una distribución degenerada en cero o uno y la otra por la densidad de una distribución para datos proporcionales, como las presentadas anteriormente, se dice que \(y \sim ZOIP(\mu,\sigma, p_0, p_1)\) si sigue la función de densidad de probabilidad dada por: \[ g(y;\mu,\sigma, p_{0}, p_{1})= \begin{cases} p_{0} & \text{Si}\ y=0,\\ p_{1} & \text{Si}\ y=1,\\ (1-p_{0}-p_{1})f(y;\mu,\sigma) & \text{Si}\ y \in (0,1) \end{cases} \]

donde \(p_{0} \geq 0\) representa la probabilidad que \(y=0\), \(p_{1} \geq 0\) representa la probabilidad de que \(y=1\), \(0\leq p_{0}+p_{1}\leq 1\) y \(f(y;\mu,\phi)\) representa algunas de las funciones de densidad de probabilidad para datos proporcionales, como la distribución beta y simplex.

Instalación paquete ZOIP

Se debe ejecutar las siguientes líneas de código para instalar el paquete ZOIP en R.

if (!require('devtools')) install.packages('devtools') devtools::install_github('jucdiaz/ZOIP', force=TRUE)
library(ZOIP)

Parámetros Comunes de la distribución ZOIP en el paquete ZOIP.

La función ZOIP está compuesta por varios parámetros (mu, sigma, p0, p1, Family) que serán descritos a continuación:

family

Es el parámetro que describe la distribución y/o parametrización a utilizar en la función ya sea dZOIP, pZOIP, qZOIP, rZOIP

family=‘R-S’ utiliza la distribución beta con parametrización beta Rigby y Stasinopoulos (2005), cuya función de densidad de probabilidad de la distribución beta con par'{a}metros \(\mu\) y \(\sigma\) dada por:

\[ f(y;\mu,\sigma)=B(\mu,\sigma)y^{\mu((1-\sigma^2)/\sigma^2)-1}(1-y)^{(1-\mu)((1-\sigma^2)/\sigma^2)-1} \quad; 0<y<1 \]

donde \(B(\mu,\sigma)=\frac{\Gamma((1-\sigma^2)/\sigma^2)}{\Gamma(\mu((1-\sigma^2)/\sigma^2))\Gamma((1-\mu)((1-\sigma^2)/\sigma^2))},\)

donde \(0<\mu<1\) y \(0<\sigma<1\) este último puede ser interpretado como un parámetro de dispersión de y.

family=‘F-C’ utiliza la distribución beta parametrización Ferrari y Cribari-Neto (2004), donde el parámetro sigma será igual a \(\phi\), la función de distribución beta tendrá los parámetros \(\mu\) y \(\phi\) donde \(\mu\) corresponde a la media de la distribución. Si \(y \sim Be(\mu,\phi)\) la función de densidad de probabilidad de la distribución está dada por:

\[ f(y;\mu,\phi)=\frac{\Gamma(\phi)}{\Gamma(\mu\phi)\Gamma((1-\mu)\phi)}y^{\mu\phi-1}(1-y)^{(1-\mu)\phi-1} \quad;\quad 0<y<1 \]

donde \(0<\mu<1\) y \(\phi>0\), el parámetro \(\phi\) es interpretado como un parámetro de precisión. Cuando \(\mu=1/2\) la distribución es simétrica y si \(\mu\neq1/2\) es asimétrica, además cuando \(\mu=1/2\) y \(\phi=2\) se convierte en la distribución uniforme y para valores más grandes de \(\phi\) la varianza de \(\mu\) es más pequeña.

family=‘Original’ utiliza la distribución beta parametrización original donde mu=\(p\), \(p\) parámetro de forma uno; sigma=\(q\), \(q\) parámetro de forma dos. Si una variable aleatoria \(y\) tiene distribución beta con parámetros \(p\) y \(q\) se acostumbra a denotarla por \(y \sim Be(p,q)\) y La función de densidad de probabilidad de la distribución es dada por:

\[ f(y;p,q)=\frac{\Gamma(p+q)}{\Gamma(p)\Gamma(q)}y^{p-1}(1-y)^{q-1} \quad;\quad 0<y<1 \]

donde \(p>0\), \(q>0\) y \(\Gamma(\cdot)\) es la función gamma.

family=‘simplex’ utiliza la distribución simplex. propuesta por Barndorff-Nielsen and Jørgensen (1991). la distribución simplex que es introducida por Barndorff-Nielsen and Jørgensen (1991) es un caso particular de los modelos de dispersión propuestos por Jørgensen (1997), cuya función de densidad de probabilidad depende de los parámetros \(\mu\) y \(\Sigma^{2}\) denotado por \(S(\mu, \sigma^{2})\) y está dado por:

\[ f(y;\mu,\sigma^2)=\left\{2\pi\sigma^2[y(1-y)]^3\right\}^{-1/2}exp\left\{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2y(1-y)\mu^2(1-\mu)^2}\right\}\quad;\quad 0<y<1 \] \ donde \(0<y<1\), \(0<\mu<1\) y \(\sigma^{2}>0\).

mu

Familia	Significado de mu
R-S	Media de la distribución
F-C	Media de la distribución
Original	Parámetro de forma p
Simplex	Media de la distribución

sigma

Familia	Significado de sigma
R-S	Parámetro de dispersión
F-C	Parámetro de precisión
Original	Parámetro de forma q
Simplex	Parámetro de dispersión

p0

Familia	Significado de p0
R-S	Parámetro de proporción de ceros en la distribución ZOIP
F-C	Parámetro de proporción de ceros en la distribución ZOIP
Original	Parámetro de proporción de ceros en la distribución ZOIP
Simplex	Parámetro de proporción de ceros en la distribución ZOIP

p1

Familia	Significado de p0
R-S	Parámetro de proporción de unos en la distribución ZOIP
F-C	Parámetro de proporción de unos en la distribución ZOIP
Original	Parámetro de proporción de unos en la distribución ZOIP
Simplex	Parámetro de proporción de unos en la distribución ZOIP

Función dZOIP()

La función dZOIP define la función de densidad de probabilidad de la distribución ZOIP. posee la siguiente sintaxis por default

dZOIP(x, mu = 0.5, sigma = 0.1, p0 = 0.08333333, p1 = 0.08333333,family='R-S', log = FALSE)

algunos ejemplos de su uso son dados por:

dZOIP(x=0.5, mu = 0.2, sigma = 0.5, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='R-S',log = FALSE)

## [1] 0.3243543

dZOIP(x=0.5, mu = 0.2, sigma = 3, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='F-C',log = FALSE)

## [1] 0.3243543

dZOIP(x=0.5, mu = 0.6, sigma = 2.4, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='Original',log = FALSE)

## [1] 0.3243543

dZOIP(x=0.5, mu = 0.2, sigma = 3, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='Simplex',log = FALSE)

## [1] 0.1060994

Función pZOIP()

La función pZOIP define la función de distribución acumulada de la distribución ZOIP. posee la siguiente sintaxis por default

pZOIP(q, mu = 0.5, sigma = 0.1, p0 = 0.08333333, p1 = 0.08333333,family='R-S',lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

algunos ejemplos de su uso son dados por:

pZOIP(q=0.5, mu = 0.2, sigma = 0.5, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='R-S', log = FALSE)

## [1] 0.7385918

pZOIP(q=0.5, mu = 0.2, sigma = 3, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='F-C', log = FALSE)

## [1] 0.7385918

pZOIP(q=0.5, mu = 0.6, sigma = 2.4, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='Original', log = FALSE)

## [1] 0.7385918

pZOIP(q=0.5, mu = 0.2, sigma = 3, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='Simplex', log = FALSE)

## [1] 0.794461

Función qZOIP()

La función qZOIP define la función cuantil de la distribución ZOIP. posee la siguiente sintaxis por default

qZOIP(p, mu = 0.5, sigma = 0.1, p0 = 0.08333333, p1 = 0.08333333,family='R-S',lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

algunos ejemplos de su uso son dados por:

qZOIP(p=0.7, mu = 0.2, sigma = 0.5, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='R-S', log = FALSE)

## [1] 0.4004745

qZOIP(p=0.7, mu = 0.2, sigma = 3, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='F-C', log = FALSE)

## [1] 0.4004745

qZOIP(p=0.7, mu = 0.6, sigma = 2.4, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='Original', log = FALSE)

## [1] 0.4004745

qZOIP(p=0.7, mu = 0.2, sigma = 3, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='Simplex', log = FALSE)

## [1] 0.2973274

Función rZOIP()

la función rZOIP define la función generadora de números aleatorios para la distribución ZOIP. Posee la siguiente sintaxis por default

rZOIP(n, mu = 0.5, sigma = 0.1,p0 = 0.08333333, p1 = 0.08333333,family='R-S')

algunos ejemplos de su uso son dados por:

a1<-rZOIP(n=1000, mu = 0.2, sigma = 0.5, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='R-S')
plot(density(a1),main=expression(paste("Distribucion beta Parametrizacion R-S ",mu==0.2,", ",sigma==0.5,", ", "p0=0.2",", ","p1=0.2"))
,xlab='Proporcion',ylab='Frecuencia')

a2<-rZOIP(n=1000, mu = 0.2, sigma = 3, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='F-C')
plot(density(a2),main=expression(paste("Distribucion beta Parametrizacion F-C ",mu==0.2,", ",phi==3,", ", "p0=0.2",", ","p1=0.2"))
,xlab='Proporcion',ylab='Frecuencia')

a3<-rZOIP(n=1000, mu = 0.6, sigma = 2.4, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='Original')
plot(density(a3),main=expression(paste("Distribucion beta Parametrizacion Original ",p==0.6,", ",q==2.4,", ", "p0=0.2",", ","p1=0.2"))
,xlab='Proporcion',ylab='Frecuencia')

a4<-rZOIP(n=10, mu = 0.2, sigma = 3, p0 = 0.2, p1 = 0.2,family='Simplex')
plot(density(a4),main=expression(paste("Distribucion Simplex ",mu==0.2,", ",sigma==3,", ", "p0=0.2",", ","p1=0.2"))
,xlab='Proporcion',ylab='Frecuencia')

Distribución ZOIP

Juan Camilo Diaz Zapata

2017-12-18